Question

15．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC=120°；③△AEH∽△CEA；④AE•AD=AH•AF；其中结论正确的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由菱形ABCD中，AB=AC，易证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=∠EAC=60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE；则可得∠BAF=∠ACE，利用三角形外角的性质，即可求得∠AHC=120°，由∠BAF=∠ACE，∠AEC=∠AEC，推出△AEH∽△CEA，在菱形ABCD中，AD=AB，由于△AEH∽△CEA，△ABF≌△CAE，于是△AEH∽△ABF，得到AE•AD=AH•AF．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即△ABC是等边三角形，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠B=∠EAC=60°，
在△ABF和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=AE}\\{∠B=∠EAC}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
故①正确；
∴∠BAF=∠ACE，
∵∠AEH=∠B+∠BCE，
∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°
故②正确；
∵∠BAF=∠ACE，∠AEC=∠AEC，
∴△AEH∽△CEA，
故③正确；
在菱形ABCD中，AD=AB，
∵△AEH∽△CEA，∴△ABF≌△CAE，
∴△AEH∽△AFB，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AH}{AB}$，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AH}{AD}$，
∴AE•AD=AH•AF，
故④正确，
故选D．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．