Question

【题目】如图，在中，，以斜边上的中线为直径作，分别与、交于点、．

（1）过点作，垂足为，求证：为的切线；

（2）连接，求证：．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）连接ON，如图，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=DB，则∠1=∠B，再证明∠2=∠B得到ON∥DB，接着根据平行线的性质得到ON⊥NE，然后利用切线的判定即可得到结论；

（2）连接DN，如图，根据圆周角定理得到∠CMD=∠CND=90°，则可判断四边形CMDN为矩形，所以DM=CN，然后证明CN=BN，从而得到MD=NB．

1)连接ON，如图，

∵CD为斜边AB上的中线，

∴CD=AD=DB，

∴∠1=∠B．

∵OC=ON，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠B，

∴ON∥DB．

∵NE⊥AB，

∴ON⊥NE，

∴NE为切线；

（2）连接DN，如图，

∵CD为直径，

∴∠CMD=∠CND=90°，

而∠MCB=90°，

∴四边形CMDN为矩形，

∴DM=CN．

∵DN⊥BC，CD=BD，

∴CN=BN，

∴MD=NB．