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【题目】如图,一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的图象交于A(1,a),B(3,b)两点.

(1)求反比例函数的表达式

(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标

(3)求△PAB的面积.

【答案】(1)反比例函数的表达式y=,(2)点P坐标(,0), (3)S△PAB= 1.5.

【解析】

(1)把点A(1,a)代入一次函数中可得到A点坐标,再把A点坐标代入反比例解析式中即可得到反比例函数的表达式;(2)作点D关于x轴的对称点D,连接ADx轴于点P,此时PA+PB的值最小.由B可知D点坐标,再由待定系数法求出直线AD的解析式,即可得到点P的坐标;(3)SPAB=SABDSPBD即可求出PAB的面积.

解:(1)把点A(1,a)代入一次函数y=﹣x+4,

a=﹣1+4,

解得a=3,

A(1,3),

A(1,3)代入反比例函数y=

k=3,

反比例函数的表达式y=

(2)把B(3,b)代入y=得,b=1

B坐标(3,1);

作点B作关于x轴的对称点D,交x轴于点C,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB的值最小,

D(3,﹣1),

设直线AD的解析式为y=mx+n

AD两点代入得,解得m=﹣2,n=5,

直线AD的解析式为y=﹣2x+5,

y=0,得x=

P坐标(,0),

(3)SPAB=SABDSPBD=×2×2﹣×2×=2﹣=1.5.

点晴:本题是一道一次函数与反比例函数的综合题,并与几何图形结合在一起来求有关于最值方面的问题.此类问题的重点是在于通过待定系数法求出函数图象的解析式,再通过函数解析式反过来求坐标,为接下来求面积做好铺垫.

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