Question

【题目】如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD．

（1）求证：△BCE≌△DCF；

（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AC的长为17．

【解析】

（1）首先根据垂线的意义得出∠CFD=∠CEB=90°，然后根据角平分线的性质得出CE=CF，即可判定Rt△BCE≌Rt△DCF；

（2）首先由（1）中全等三角形的性质得出DF=EB，然后判定Rt△AFC≌Rt△AEC，得出AF=AE，构建方程得出CF，再利用勾股定理即可得出AC.

（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

∴∠CFD=90°，∠CEB=90°（垂线的意义）

∴CE=CF（角平分线的性质）

∵BC=CD（已知）

∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）

（2）由（1）得，

Rt△BCE≌Rt△DCF

∴DF=EB，设DF=EB=x

∵∠CFD=90°，∠CEB=90°，

CE=CF，AC=AC

∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）

∴AF=AE

即：AD+DF=AB﹣BE

∵AB=21，AD=9，DF=EB=x

∴9+x=21﹣x解得，x=6

在Rt△DCF中，

∵DF=6，CD=10

∴CF=8

∴Rt△AFC中，AC2=CF2+AF2=82+（9+6）2=289

∴AC=17

答：AC的长为17．