Question

1．已知：如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：BC²=BD•BA；
（2）若AD=$\frac{9}{5}$，BC=4，求AC、BD．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得到∠BCA=∠BDC=90°，由∠B=∠B，推出△BCD∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
（2）由（1）证得BC²=BD•BA，把AD=$\frac{9}{5}$，BC=4代入上式即可得到BD=$\frac{16}{5}$，通过△ACD∽△ABC，得到$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，根据相似三角形即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠BCA=90°，CD⊥AB于点D，
∴∠BCA=∠BDC=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△ABC，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$，
∴BC²=BD•BA；

（2）解：由（1）证得BC²=BD•BA，
∵AD=$\frac{9}{5}$，BC=4，
∴4²=BD（BD+$\frac{9}{5}$），
解得：BD=$\frac{16}{5}$，
∵∠BCA=∠ADC=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∴AC²=AB•AD=5×$\frac{9}{5}$=9，
∴AC=3．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．