Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，以CD为直径作⊙O，交AC于点E，连接BE分别交CD和⊙O于点F，G，连接DE，DG，且∠BDG=∠BED．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE平分∠ABC，且CF=$\sqrt{2}$，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明AB是⊙O的切线，只要证明CD⊥AB即可；
（2）设BC交⊙O于Q，作CP⊥EF于P．设EF=a，先证明DE=DB=CQ，设CQ=x，BC=y，由△BDQ∽△BCD，可得BD²=BQ•BC，可得x²=（y-x）y，解得$\frac{x}{y}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（负根已经舍弃），由DE∥BC，可得$\frac{DE}{BC}$=$\frac{EF}{BF}$，推出BF=$\frac{2a}{\sqrt{5}-1}$，由△EPC∽△ECB，可得EC²=EP•EB，列出方程即可解决问题；

解答 解：（1）AB是⊙O的切线，
理由：∵CD为⊙O的直径，
∴∠CED=90°，
∵∠CEG=∠CDG，∠CEG+∠BED=90°，∠BDG=∠BED，
∴∠CDG+∠BDG=90°，
∴CD⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；

（2）设BC交⊙O于Q，作CP⊥EF于P．设EF=a，
∵CD是直径，
∴∠CED=∠CQD=∠ECQ=90°，
∴四边形ECQD是矩形，
∴DE=CQ，
∵∠EBD=∠EBC=∠DEB，
∴DE=DB=CQ，设CQ=x，BC=y，
由△BDQ∽△BCD，可得BD²=BQ•BC，
∴x²=（y-x）y，
∴x²+xy-y²=0，
∴（$\frac{x}{y}$）²+（$\frac{x}{y}$）-1=0，
解得$\frac{x}{y}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（负根已经舍弃），
∵DE∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{EF}{BF}$，
∴BF=$\frac{2a}{\sqrt{5}-1}$，
∵∠CEF+∠DEB=90°，∠DBF+∠DFB=90°，∠CFE=∠DFB，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，∵CP⊥EF，
∴EP=PF=$\frac{a}{2}$，
由△EPC∽△ECB，可得EC²=EP•EB，
∴（$\sqrt{2}$）²=$\frac{a}{2}$•（a+$\frac{2a}{\sqrt{5}-1}$），
解得a=$\sqrt{5}$-1（负根已经舍弃），
∴EF=$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查切线的性质、角平分线的定义、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．