Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径画⊙O交BC于点D，交AB于点E，连接CE．
（1）求证：BD=CD；
（2）求CE的长．

Answer 1

分析 （1）连结AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADC=90°，而AB=AC，则根据等腰三角形的性质可得BD=CD；
（2）先利用勾股定理计算出AD=12，然后利用面积法计算CE的长．

解答 （1）证明：连结AD，如图，
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD；
（2）解：在Rt△ADC中，∵AC=13，CD=$\frac{1}{2}$BC=5，
∴AD=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
∴$\frac{1}{2}$CE•AB=$\frac{1}{2}$AD•BC，
∴CE=$\frac{12×10}{13}$=$\frac{120}{13}$．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质．