Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：∠BAC+∠BCE=180°；
（3）当点D在直线BC上移动，则∠BAC与∠BCE之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

Answer 1

分析 （1）由已知角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；
（2）由（1）的结论，利用全等三角形对应角相等得到∠B=∠ACE，在三角形ABC中，利用内角和定理列出等式，等量代换即可得证；
（3）当点D在射线BC上时；当点D在射线BC的反向延长线上时，找出∠BAC与∠BCE数量关系即可．

解答 （1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）证明：∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE=180°；
（3）解：当点D在射线BC上时，如图1所示，

此时∠BAC+∠BCE=180°；
当点D在射线BC的反向延长线上时，如图2所示，

此时∠BAC=∠BCE．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．