Question

14．求满足方程x²+2xy+3y²-2x+y+1=0的所有有序整数对（x，y）．

Answer 1

分析 首先将原方程可以变形为x²+2（y-1）x+（3y²+y+1）=0，由于这个关于x的整系数一元二次方程有整数根，先确定出y的范围，进而得出整数y的值，然后代入求解即可求得答案；

解答 解：原方程可化为x²+2（y-1）x+（3y²+y+1）=0，
∵方程x²+2xy+3y²-2x+y+1=0有实数根，
∴△=4（y-1）²-4（3y²+y+1）=-8y²-12y≥0，
∴y（2y+3）≤0，
∴-$\frac{3}{2}$＜y＜0，
∵y为整数，
∴y=-1或y=0，
当y=-1时，原方程可化为x²-4x+3=0，
∴x=1或x=3，
即：原方程的整数解为$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
当y=0时，原方程可化为x²-2x+1=0，
∴x=1，
即：原方程的整数解为$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
综合上述，满足方程x²+2xy+3y²-2x+y+1=0的所有有序整数对（x，y）为（1，-1），（3，-1），（1，0）．

点评 此题是非一次不定方程，主要考查了一元二次方程的有整数根问题．解题的关键是将原方程变形，利用判别式求解．