Question

【题目】如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D为AB中点，设点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，点Q在线段CA上由C点向A点运动.

（1）若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后△BPD与△CQP是否全等，并说明理由；
（2）若点P，Q同时出发，但运动的速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有△BPD与△CQP全等？
（3）若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是逆时针沿△ABC的三边上运动，经过多少时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵t=1秒，

∴BP=CQ=3×1=3cm，

∵AB=10cm，点D为AB的中点，

∴BD=5cm．

又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，

∴PC=8﹣3=5cm，

∴PC=BD．

又∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△BPD和△CQP中，

∴△BPD≌△CQP（SAS）．

（2）

解：∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，

又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，

∴点P，点Q运动的时间 秒，

∴vQ= cm/秒；

（3）

设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，

由题意，得 x=3x+2×10，

解得x= ．

∴点P共运动了 ×3=80cm．

∴80=56+24=2×28+24，

∴点P、点Q在AB边上相遇，

∴经过 秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．

【解析】（1）由P，Q的速度相等，t=1秒时，CQ=BP=3cm，易得BD=CP=5，由AB=AC，则∠B=∠C，可证得△BPD≌△CQP；（2）△BPD与△CQP全等时，B与C对应，而vP≠vQ ， 则BP≠CQ，则P不与Q对应，则P与P对应，即△BPD≌△CPQ，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，所以求出时间，再求Q的速度即可；（3）可设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，点Q的速度大于点P，则是Q追P的问题，点Q与点P相距AC+AB=20cm，数量关系：点Q的路程=点P的路程+20，解出时间，则求出P点的路程，算出P绕△ABC运动几周余多少米，可算出点P在哪个位置.
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．