Question

11．观察下列各式：
1³=1=$\frac{1}{4}$×1²×2²
1³+2³=9=$\frac{1}{4}$×2²×3²
1³+2³+3³=36=$\frac{1}{4}$×3²×4²
1³+2³+3³+4³=100=$\frac{1}{4}$×4²×5²
…
回答下面的问题：
（1）猜想1³+2³+3³+…+（n-1）³+n³=$\frac{1}{4}$n²（n+1）²
（2）利用你得到的（1）中的结论，计算1³+2³+3³+…+99³+100³的值；
（3）计算：
①21³+22³+…+99³+100³的值；
②2³+4³+6³+…+98³+100³的值．

Answer 1

分析 （1）（2）观察已知的等式，发现：等式的左边是连续自然数的立方和，等式的右边是连续自然数的和的平方；由此得出答案即可；
（3）根据（1）中发现的结论，即可求得结论．

解答 解：（1）$\frac{1}{4}$n²（n+1）²；
（2）1³+2³+3³+…+100³=$\frac{1}{4}$×100²×101²=25502500；
（3）①原式=1³+2³+3³+…+99³+100³-（1³+2³+3³+4³+…20³）=$\frac{1}{4}$×100²×101²-$\frac{1}{4}$×20²×21²=25458400；
②原式=2³×（1³+2³+3³++…50³=8×$\frac{1}{4}$×50²×51²=13005000．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字的变化规律，利用规律解决问题．