Question

【题目】如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为6，弧DE的长度为2π．

（1）求证：DE∥BC；
（2）若AF=CE，求线段BC的长度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：连接OD、OE，

设∠EOD=n°，

∵弧DE的长度为2π，

∴2π= ，

∴n=60°，

∴△EOD是等边三角形，

∴∠ODE=60°，

∵AB是⊙O的切线，

∴∠ODA=90°

∴∠EAD=30°，

∴∠B=∠EAD，

∴ED∥BC，

（2）

解：连接FD，

由（1）可知ED∥BC，

∴∠AED=∠C=90°，

∴由圆周角定理可知：FD是⊙O的直径，

∴∠AFD=30°，

∴cos∠AFD= ，DF=12

∴AF=8 ，

∵cos∠AFD= ，

∴EF=6 ，

∴CE=AF=8 ，

∴AE=CF=2 ，

∴AC=10 ，

∵tanB= ，

∴BC=30，

【解析】（1）连接OD、OE，根据弧DE的长度为2π，从而可求出∠EOD的度数，根据切线的性质即可求出∠EDA的度数，从可得出∠B=∠EAD；（2）连接FD，由圆周角定理可知FD是⊙O的直径，从而可知∠AFD=30°，从而可求出AF、AE的长度，再由tanB= 即可求出BC的长度．