Question

3．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AB=$\sqrt{3}$，点D在AC边上，且CD=$\frac{1}{2}$，点P是斜边BC上的一个动点，求PA+PD的最小值．

Answer 1

分析 作点A关于BC的对称点E，AE交BC于F，则AE⊥BC，EF=AF，连接DE交BC于P，则PE=PA，从而确定PA+PD=PE+PD=DE的值最小，然后根据解直角三角形和勾股定理即可求得．

解答 解：作点A关于BC的对称点E，AE交BC于F，则AE⊥BC，EF=AF，连接DE交BC于P，则PE=PA，
∴PA+PD=PE+PD=DE，
∴PA+PD的最小值为DE，
∵∠BAC=90°，∠C=30°，AB=$\sqrt{3}$，
∴∠B=60°，AC=$\frac{AB}{tan∠C}$=3，
在RT△ABF中，∠BAF=30°
∴AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
∴AE=2AF=3，
作EG⊥AC于G，则EG∥AB，
∴∠AEG=∠BAF=30°，
∴AG=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{3}{2}$，EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$
∴DG=AC-CD-AG=3-$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$=1，
在RT△EGD中，ED=$\sqrt{E{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\frac{\sqrt{31}}{2}$．
∴PA+PD的最小值为$\frac{\sqrt{31}}{2}$．

点评 此题考查了轴对称-最短路线的问题，解直角三角函数，确定动点E何位置时，作出辅助线构建直角三角形是关键．