Question

19．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A、B、C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当AD-CD最大时求点D的坐标，并求出此时的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求函数解析式；
（2）AD-CD的最大值就是线段AC的长，据此即可求解．

解答 解：（1）设抛物线的解析式是y=ax²+bx+c．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$
则抛物线的解析式是：y=-x²+2x+3；
抛物线的对称轴是：直线x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1；
（2）∵A、C的坐标分别为（-1，0）、（0，3），
∴直线AC的解析式为y=3x+3，
∵点D在直线x=1上，
∴点D的坐标为（1，6）．
则AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
即AD-CD的最大值是$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及轴对称的性质的应用，正确理解AD-BC最大的条件是解题的关键．