Question

4．如图，△ABC中，AB=AC，且AB为⊙O的直径，⊙O交BC于点D，过D点作DE⊥AC于E
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BC=8，AB=5，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可．
（2）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，根据（1）可知OD是中位线，得出CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=4，然后根据勾股定理求得AD，最后根据S_△ADC=$\frac{1}{2}$CD•AD=$\frac{1}{2}$AC•DE即可求得DE的长．

解答 （1）证明：连接OD；
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠DEC；
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵OD∥AC，OA=OB，
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=4，
∵AC=A=5，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=3，
∵S_△ADC=$\frac{1}{2}$CD•AD=$\frac{1}{2}$AC•DE，
∴DE=$\frac{CD•AD}{AC}$=$\frac{4×3}{5}$=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可；也考查了圆周角定理和勾股定理以及三角形的面积．