Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，P是BC上一点，E是AB上一点，PD平分∠APC，PE⊥PD，连接DE交AP于F，在以下判断中，不正确的是（　　）

A.当P为BC中点，△APD是等边三角形

B.当△ADE∽△BPE时，P为BC中点

C.当AE＝2BE时，AP⊥DE

D.当△APD是等边三角形时，BE+CD＝DE

Answer 1

【答案】B

【解析】

A、先判断出△APB≌△DPC，进而可以得出∠APD＝60°，即可得出结论；

B、虽然题目中有相似三角形和直角三角形，但没有告诉线段与线段之间的倍数关系和没出现含30°的直角三角形，所以没办法得出点P是BC的中点；

C、先求出∠BAP，进而得出∠ADE＝∠PDE，即可判断出△ADE≌△PDE，最后用三角形三线合一的性质即可得出结论；

D、先求出∠BPE＝∠APE＝∠PAB＝30°，再用含30°的直角三角形的性质和勾股定理即可得出结论．

解：A、∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，

∵点P是BC的中点，

∴PB＝PC，

在△APB和△DPC中，

，

∴△APB≌△DPC（SAS），

∴PA＝PD，∠APB＝∠DPC，

∵PD平分∠APC，

∴∠APD＝∠CPD，

∴∠APB＝∠APD＝∠CPD，

∵∠APB+∠APD+∠CPD＝180°，

∴∠APD＝60°，

∵PA＝PD，

∴△APD是等边三角形；

∴A正确，故A不符合题意；

B、由给出的条件，没办法得出点P是BC的中点，故B符合题意；

C、∵PD⊥PE，

∴∠BPE+∠DPC＝90°，∠APE+∠APD＝90°，

∵∠APD＝∠CPD，

∴∠APE＝∠BPE，

过点B作BG∥AP交PE的延长线于G，

∴∠G＝∠APE＝∠BPE，

∴BG＝BP，

∵BG∥AP，

∴△BEG∽△AEP，

∴

∴，

∵AE＝2BE，

∴，

在Rt△ABP中，sin∠BAP＝，

∴∠BAP＝30°，

∴∠APB＝60°，

∴∠BPE＝∠APE＝30°＝∠BAP，

∴AE＝PE，

∵EA⊥AD，EP⊥PD，

∴∠ADE＝∠PDE，

在△ADE和△PDE中，

，

∴△ADE≌△PDE，

∴∠AED＝∠PED，

∵AE＝PE，

∴DE⊥AP，

∴C正确，故C不符合题意；

D、∵△APD是等边三角形，

∴AP＝DP，∠APD＝60°，

∴∠CPD＝60°，

∴∠APB＝60°，

∴∠BPE＝∠APE＝∠PAB＝30°

∴AE＝PE

设BE＝a，

在Rt△PBE中，BP＝BE＝a，PE＝2a，

∴AE＝2a，

∴CD＝AB＝BE+AE＝3a，

易证△APB≌△DPC，

∴PB＝PC，

∴AD＝BC＝2BP＝2a，

在Rt△ADE中，根据勾股定理，得，DE＝＝4a，

∵BE+CD＝a+3a＝4a＝DE，

∴D正确，故D不符合题意；

∴符合题意的只有B．

故选：B．