Question

17．如图，已知正方形ABCD的边长为$\sqrt{5}$，点E，F，G，H分别在正方形的四条边上，且AE=DF=CG=BH，则四边形EFGH的形状为正方形，它的面积的最小值为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 先证明△AEH≌△DFE≌△CGF≌△BHG，从而得到HE=EF=FG=HG，然后证明EFGH四边形有一个角是直角，从而可判断出四边形EFGH的形状，设AE=x，则AH=（$\sqrt{5}$-x），依据正方形的面积公式以及勾股定理可得到四边形EFGH的面积与x的函数关系式，依据二次函数的性质求得二次函数的最小值即可．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D．
∵AE=DF=CG=BH，
∴AH=ED=FG=BG．
在△AEH、△DFE、△CGF、△BHG中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF=CG=BH}\\{∠A=∠D=∠C=∠B}\\{AH=ED=FG=BG}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△DFE≌△CGF≌△BHG．
∴HE=EF=FG=HG．
∴四边形EFGH是菱形．
∵△AEH≌△DFE，
∴∠AEH=∠DFE．
∵∠AHE+∠AEH=90°，
∴∠DEF+∠AEH=90°．
∴∠HEF=90°．
∴EHGF为正方形．
设AE=x，则AH=（$\sqrt{5}$-x）．

∵正方形EFHG的面积=HE²=AE²+AH²=x²+（$\sqrt{5}$-x）²=2x²-2$\sqrt{5}$x+5，
∴当x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，正方形的面积有最小值．
∴正方形EFHG的面积的最小值=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²+（$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²=$\frac{5}{2}$．
故答案为：正方形；$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查的正方形的判定与性质、二次函数的最值，全等三角形的判定和性质、正方形的面积公式、勾股定理等知识，列出四边形EFGH的面积与x的函数关系式是解题的关键．