Question

10．如图，在?ABCD纸片中，∠A=60°，AD-AB=1，点E，F分别在边CD，AB上，将纸片沿EF折叠，使点A，D分别落在点A′，D′，处，且AD经过点B．当D′E⊥CD时，CE=1，则AB的长是$\frac{3\sqrt{3}+5}{2}$．

Answer 1

分析 首先延长DC与A′D′的延长线交于点H，由四边形ABCD是菱形与折叠的性质，易求得△BCH是等腰三角形，△D′FH是含30°角的直角三角形，然后设DE=x，利用正切函数的知识，即可求得答案．

解答 解：延长DC，交A′D′的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=60°，
∴∠D=120°，∠DCB=∠A=60°，
由翻转变换的性质可知，∠ED′B=120°，
∴∠ED′H=60°，又D′E⊥CD，
∴∠H=30°，
∴∠CBH=30°，
∴CB=CH，
设DE=x，则DC=x+1，D′E=x，
∵AD-AB=1，
∴BC=x+1+1=x+2，
∴CH=x+2，
∴EH=x+3，
∵tan∠H=$\frac{ED′}{EH}$，
∴$\frac{x}{x+3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得，x=$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$，
∴AB=DC=$\frac{3\sqrt{3}+5}{2}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}+5}{2}$．

点评 本题考查了折叠的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．