Question

15．如图，△BCD和△BCE中，∠BDC=∠BEC=90°，O为BC的中点，BD，CE交于A，∠BAC=120°，求证：DE=OE．

Answer 1

分析 连接OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD=OE=OB=OC，根据等边对等角可得∠CBA=∠BDO，∠BCA=∠CEO，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BOE=2∠BCA，∠COD=2∠CBA，再根据三角形的内角和等于180°求出∠CBA+∠BCA=60°，然后求出∠DOE=60°，从而判断出△DOE是等边三角形，最后根据等边三角形的三条边都相等证明即可．

解答 证明：如图，连接OD，
∵∠BDC=∠BEC=90°，O为BC的中点，
∴OD=OE=OB=OC，
∴∠CBA=∠BDO，∠BCA=∠CEO，
由三角形的外角性质得，∠BOE=∠BCA+∠CEO=2∠BCA，
∠COD=∠CBA+∠BDO=2∠CBA，
∵∠BAC=120°，
∴∠CBA+∠BCA=180°-120°=60°，
∴∠DOE=60°，
∴△DOE是等边三角形，
∴DE=OE．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质以及三角形的内角和定理，难点在于求出等边三角形．