Question

5．设函数y=x²+2kx+k-1（k为常数），下列说法正确的是（　　）

• A． 对任意实数k，函数与x轴都没有交点
• B． 存在实数n，满足当x≥n时，函数y的值都随x的增大而减小
• C． k取不同的值时，二次函数y的顶点始终在同一条直线上
• D． 对任意实数k，抛物线y=x²+2kx+k-1都必定经过唯一定点

Answer 1

分析 A、计算出△，根据△的值进行判断；
B、根据二次函数的性质即可判断；
C、得到抛物线的顶点，写成方程组，消去k得y=-x²-x-1，即可判断；
D、令k=1和k=0，得到方程组，求出所过点的坐标，再将坐标代入原式验证即可；

解答 解：A、∵△=（2k）²-4（k-1）=4k²-4k+4=4（k-$\frac{1}{2}$）²+3＞0，
∴抛物线的与x轴都有两个交点，故A错误；
B、∵a=1＞0，抛物线的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-k，
∴在对称轴的左侧函数y的值都随x的增大而减小，
即当x＜k时，函数y的值都随x的增大而减小，
当n=-k时，当x≥n时，函数y的值都随x的增大而增大，故B错误；
C、∵y=x²+2kx+k-1=（x+k）²-k²+k-1，
∴抛物线的顶点为（-k，-k²+k-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-k}\\{y=-{k}^{2}+k-1}\end{array}\right.$，
消去k得，y=-x²-x-1
由此可见，不论k取任何实数，抛物线的顶点都满足函数y=-x²-x-1，
即在二次函数y=-x²-x-1的图象上．故C错误；
D、令k=1和k=0，得到方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
将$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$代入x²+2kx+k-1得，$\frac{1}{4}$-k+k-1=-$\frac{3}{4}$，与k值无关，不论k取何值，抛物线总是经过一个定点（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$），故D正确．
故选D．

点评 本题考查了二次函数的性质，熟悉函数和函数方程的关系、函数的性质是解题的关键．