Question

10．设函数y=（kx-3）（x+1）（其中k为常数）．
（1）当k=-2时，函数y存在最值吗？若存在，请求出这个最值．
（2）在x＞0时，要使函数y的值随x的增大而减小，求k应满足的条件．
（3）若函数y的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求能使△ABC为等腰三角形的k的值．（分母保留根号，不必化简）

Answer 1

分析 （1）把k=-2代入抛物线解析式得到y=-2x²-5x-3，根据顶点坐标公式即可解决．
（2）分两种情形讨论当k=0时，y=-3x-3为一次函数，k=-3＜0，则当x＞0时，y随x的增大而减小；当k≠0时，y=（kx-3）（x+1）=kx²+（k-3）x-3为二次函数，由不等式组$\left\{\begin{array}{l}{k＜O}\\{\frac{3}{2k}-\frac{1}{2}≤0}\end{array}\right.$解决．
（3）分三种情形讨论：当k＞0时①AC=BC，②AC=AB，③AB=BC分别列出方程解决；当k＜0时，B只能在A的左侧，只有AC=AB列出方程解决，当k=0时，不合题意．

解答 解：（1）当k=-2时，函数y=（-2x-3）（x+1）=-（2x+3）（x+1）=-2x²-5x-3，
函数为二次函数，且二次项系数小于0，故函数存在最大值，
当x=-$\frac{b}{2a}$=$-\frac{5}{4}$时，y最大=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{1}{8}$，
（2）当k=0时，y=-3x-3为一次函数，
k=-3＜0，则当x＞0时，y随x的增大而减小；
当k≠0时，y=（kx-3）（x+1）=kx²+（k-3）x-3为二次函数，其对称轴为直线$x=\frac{{\frac{3}{k}-1}}{2}=\frac{3}{2k}-\frac{1}{2}$
要使当x＞0时，y随x的增大而减小，则抛物线的开口必定朝下，且对称轴不在y轴的右边，
故得，$\left\{\begin{array}{l}{k＜O}\\{\frac{3}{2k}-\frac{1}{2}≤0}\end{array}\right.$，
解得k＜0                                                 
综上所述，k应满足的条件是：k≤0．
（3）由题意得，k≠0，函数为二次函数，
由所给的抛物线解析式可得A，C为定值A（-1，0），C（0，-3）则$AC=\sqrt{10}$，而$B（\frac{3}{k}，0）$，
当k＞0时①AC=BC，则有$\sqrt{{{（\frac{3}{k}）}^2}+{3^2}}=\sqrt{10}$，可得k=3，
②AC=AB，则有$\frac{3}{k}+1=\sqrt{10}$，可得$k=\frac{3}{{\sqrt{10}-1}}$，
③AB=BC，则有$\frac{3}{k}+1=\sqrt{9+{{（\frac{3}{k}）}^2}}$，可得$k=\frac{3}{4}$，
当k＜0时，B只能在A的左侧，只有AC=AB，则有$-\frac{3}{k}-1=\sqrt{10}$，可得$k=-\frac{3}{{\sqrt{10}+1}}$，
当k=0时函数为一次函数，不合题意．
综上所述，使△ABC为等腰三角形的k的值为3或$\frac{3}{4}$或$\frac{3}{\sqrt{10}-1}$或-$\frac{3}{\sqrt{10}+1}$．

点评 本题考查二次函数的有关知识、一次函数的有关知识，掌握函数的性质是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．