Question

3．如图，点E为正方形ABCD的边AD上一点，F在DC的延长线上，且CF=AE．
（1）求证：∠BEF=45°；
（2）若AE=2，DE=3，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）连接BF，根据SAS定理得出△ABE≌△CBF，故可得出∠ABE=∠CBF，BE=BF，由此可得出△BEF是等腰直角三角形，故可得出结论；
（2）根据AE=CF可得出DF的长，再由勾股定理即可得出结论．

解答 （1）证明：连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCF=90°．
在△ABE与△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=BC\\∠A=∠BCF\\ AE=CF\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠ABE=∠CBF，BE=BF，
∴∠EBF=∠ABC=90°
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠BEF=45°；

（2）∵AE=CF=2，DE=3，
∴DF=CF+CD=2+（2+3）=7，
∴EF=$\sqrt{{DF}^{2}+{DE}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{58}$．

点评 本题考查的是正方形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．