Question

如图，点A的坐标为（-1，0），O为原点，⊙A的半径为1，点B是⊙A上的一个动点，点C在x轴上，以直线BC为图象的一次函数解析式为y=k（x+3）（k为常数，且k≠0）．
（1）求点C的坐标；
（2）当k为何值时，直线BC与⊙A相切？此时连接OB，求tan∠BOC．

Answer 1

解：（1）令y=0，则k（x+3）=0，
解得x=-3，
∴C（-3，0）；

（2）直线BC与⊙A相切，切点为B，连接AB，
则AB⊥BC，AB=1，AC=2，
∴∠DCO=30°．
在Rt△CDO中，∵OC=3，
∴OD=OC•tan∠DCO=，
∴D₁（0，）或D₂（0，-），
当直线BC过点D₁时，
∴3k=，
解得k=，
当直线BC过点D₂时，
∴3k=-，
解得k=-，
∴当k=或-时，直线BC与⊙A相切；
在Rt△CDO中，∵∠DCO=30°，
∴∠BAC=60°．
∵AB=AO，
∴∠BAO=∠BOC=∠BAC=30°，
∴tan∠BOC=．
分析：（1）由于以直线BC为图象的一次函数解析式为y=k（x+3），由此即可确定点C的坐标；
（2）若直线BC与⊙A相切，切点为B，连接AB，如图，根据切线的性质得到AB⊥BC，而AB=1，AC=2，所以∠DCO=30°，在Rt△CDO中利用OC=3即可求出OD的长度，然后就可以求出D的坐标，然后求出直线的k值，最后利用三角函数的定义就可以求出tan∠BOC的值．
点评：此题考查了一次函数的综合题，分别利用了待定系数法和解直角三角形求出函数的解析式，同时也利用了直线与圆的位置关系解决问题，有一定的综合性．