Question

【题目】如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N．
（1）点N是线段BC的中点吗？为什么？
（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AD是小圆的切线，M为切点，

∴OM⊥AD，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴ON⊥BC，

∴N是BC的中点

（2）解：延长ON交大圆于点E，连接OB，

∵圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，

∴EN=6﹣5=1cm，

∴ME=6cm，

∵BC=10cm，N是BC的中点，

∴BN=5cm，

在Rt△OBN中，设OM=r，

OB2=BN2+（OM+MN）2，

即（r+6）2=52+（r+5）2，

解得r=7（cm），

故小圆半径为7cm．

【解析】（1）由AD是小圆的切线可知OM⊥AD，再由四边形ABCD是矩形可知，AD∥BC，AB=CD，故ON⊥BC，由垂径定理即可得出结论；（2）延长ON交大圆于点E，由于圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm可知ME=6cm，在Rt△OBE中，利用勾股定理即可求出OM的长．
【考点精析】关于本题考查的勾股定理的概念和矩形的性质，需要了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等才能得出正确答案．