Question

8．如图，在平面直角坐标系中，点A（$\sqrt{3}$，0），点B（0，1），作第一个正方形OA₁C₁B₁且点A₁在OA上，点B₁在OB上，点C₁在AB上；作第二个正方形A₁A₂C₂B₂且点A₂在A₁A上，点B₂在A₁C₂上，点C₂在AB上…，如此下去，则点C_n的纵坐标为$（\frac{3-\sqrt{3}}{2}）^{n}$．

Answer 1

分析 先把点A（$\sqrt{3}$，0），点B（0，1）代入直线AB的解析式中，得出直线AB的解析式，再利用正方形的性质得出点C_n的纵坐标规律解答即可．

解答 解：把点A（$\sqrt{3}$，0），点B（0，1）代入直线AB的解析式y=kx+b中，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
所以直线AB的解析式是：$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+1$，
设C₁的横坐标为x，则纵坐标为y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}x+1$，
因为正方形OA₁C₁B₁可得，x=y，
即：$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+1$，
解得：x=$\frac{1}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
可得点C₁的纵坐标为$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
同理可得：点C₂的纵坐标为$\frac{6-3\sqrt{3}}{2}$，
由以上分析可得：点C_n的纵坐标为$（\frac{3-\sqrt{3}}{2}）^{n}$．
故答案为：$（\frac{3-\sqrt{3}}{2}）^{n}$．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特点等知识，难度适中．