Question

12．若关于x的方程$\frac{ax}{x-2}$=$\frac{3+a}{x-2}$-$\frac{x}{2-x}$的解为整数，且不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-3＞9}\\{x-a＜0}\end{array}\right.$无解，则这样的非负整数a有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 先把a当常数解分式方程，x=$\frac{a+3}{a-1}$，再将a当常数解不等式组，根据不等式组无解得：a≤6，找出当a为非负整数时，x也是整数的值时，a有几个即可．

解答 解：$\frac{ax}{x-2}$=$\frac{3+a}{x-2}$-$\frac{x}{2-x}$，
去分母，方程两边同时乘以x-2，
ax=3+a+x，
x=$\frac{a+3}{a-1}$，且x≠2，
$\left\{\begin{array}{l}{2x-3＞9①}\\{x-a＜0②}\end{array}\right.$，
由①得：x＞6，
由②得：x＜a，
∵不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-3＞9}\\{x-a＜0}\end{array}\right.$无解，
∴a≤6，
当a=0时，x=$\frac{a+3}{a-1}$=-3，
当a=1时，x=$\frac{a+3}{a-1}$无意义，
当a=2时，x=$\frac{a+3}{a-1}$=$\frac{2+3}{2-1}$=5，
当a=3时，x=$\frac{a+3}{a-1}$=$\frac{3+3}{3-1}$=3，
当a=4时，x=$\frac{a+3}{a-1}$=$\frac{4+3}{4-1}$=$\frac{7}{3}$，
当a=5时，x=$\frac{a+3}{a-1}$=$\frac{5+3}{5-1}$=2，分式方程无解，不符合题意，
当a=6时，x=$\frac{a+3}{a-1}$=$\frac{6+3}{6-1}$=$\frac{9}{5}$，
∵x是整数，a是非负整数，
∴a=0，2，3；
故选B．

点评 此题考查了解分式方程、一元一次不等式组的解的情况，求出分式方程和不等式组的解是解本题的关键，要注意分式方程有意义，即分母不为0．