Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠B=30°，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE=nEA，连接CE并延长交AB于点F，过点F作FG∥AC交AD（或延长线）于点G．
（1）当n=1时，则=______，=______．
（2）如图2，当n=时，求证：FG²=FE•FC；
（3）如图3，当n=______时，．

Answer 1

解：（1）当n=1时，E为AD的中点，
过点D作DH∥CF交AB于点H，
则BH=HF=FA，CF=2DH=2×2EF=4EF，
∴=2，=3．

（2）过点D作DH∥CF交AB于点H，
设AF=x，则BH=HF=nx．
∵∠B=30°，
∴AC=AB=（2n+1）x，
过点C作CM⊥AB于点M，
∵∠ACM=∠B=30°，
∴MC=ACcos∠ACM=ACcos30°=（2n+1）x•=x，AM=AC=×（2n+1）x=x，
∴MF=AF-AM=x-x=x，
∴FC²=MF²+MC²=（x）²+（x）²=x²，
∵，
∴FE=HD=FC，
∴FE•FC=FC²，，
∴，即，
∴当n=时，FC²=x²=x²，FE•FC=FC²=x²，
∴x²=FE•FC．
∵FG∥AC，
∴，
∴FG=AC=x=x，
∴FC²=x²=FE•FC．

（3）过点D作DH∥CF交AB于点H，
设BH=x，则HF=x，FA=4x，
∴，
∴n=．

分析：（1）首先过点D作DH∥CF交AB于点H，由n=1时，可得E为AD的中点，然后根据平行线分线段成比例定理，即可求得答案；
（2）首先过点D作DH∥CF交AB于点H，设AF=x，则BH=HF=nx．由∠B=30°，即可求得AC的值，然后过点C作CM⊥AB于点M，易求得MC与MF的值，由勾股定理即可求得FC²=MF²+MC²，然后由平行线分线段成比例定理，即可证得FG²=FE•FC；
（3）过点D作DH∥CF交AB于点H，设BH=x，则HF=x，FA=4x，根据平行线分线段成比例定理，即可求得n的值．
点评：此题考查了平行线分线段成比例定理，三角函数的性质，勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．