Question

如图，⊙O中，AB是直径，AC是弦，CD⊥AB于D，将△ACD沿AC折叠得到△ACE，延长EC交AB的延长线于点P．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE=3，sin∠P=

3

5

，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定,翻折变换（折叠问题）

专题：计算题

分析：（1）连结OC，根据折叠的性质得∠1=∠2，∠E=∠ADC=90°，而∠2=∠3，则∠1=∠3，于是可判断AE∥OC，利用平行线的性质得∠OCP=∠E=90°，然后根据切线的判定定理得到PE是⊙O的切线；
（2）根据折叠的性质得CE=CD=3，再利用等角的余角相等得∠4=∠P，则sin∠4=sinP=

3

5

，在Rt△OCD中，根据正弦的定义得sin∠4=

OD

OC

=

3

5

，于是可设OD=3x，OC=5x，然后根据勾股定理计算出CD=4x，则4x=3，解得x=

3

4

，所以OC=5x=

15

4

．

解答：（1）证明：连结OC，如图，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵△ACD沿AC折叠得到△ACE，
∴∠1=∠2，∠E=∠ADC=90°，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AE∥OC，
∴∠OCP=∠E=90°，
∴OC⊥PC，
∴PE是⊙O的切线；
（2）解：∵△ACD沿AC折叠得到△ACE，
∴CE=CD=3，
∵∠4+∠5=90°，∠P+∠5=90°，
∴∠4=∠P，
∴sin∠4=sinP=

3

5

，
在Rt△OCD中，sin∠4=

OD

OC

=

3

5

，
设OD=3x，则OC=5x，
∴CD=

OC2-OD2

=4x，
∴4x=3，解得x=

3

4

，
∴OC=5x=

15

4

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了折叠的性质和勾股定理．