Question

如图，在边长为a的正方形ABCD中，点 G、M分别为AD、AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN于N．
（1）证明：∠ADM=∠NMB；
（2）证明：△DGM≌△MBN；
（3）求△DMN的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）通过角的计算由∠ADM+∠DMG=45°，∠DMG+∠NMB=135°-90°=45°得出∠ADM=∠NMB．
（2）求出∠MBN=∠DGM，再运用ASA来求证△DGM≌△MBN．
（3）先运用勾股定理求出DM的长度，再运用△DGM≌△MBN知DM=MN求出△DMN的面积．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，点 G、M分别为AD、AB的中点，
∴∠AGM=∠AMG=45°，
∴∠GMB=180°-∠AMG=135°，∠ADM+∠DMG=45°
又∵MN⊥MD
∴∠DMN=90°
∴∠DMG+∠NMB=135°-90°=45°
∴∠ADM+∠DMG=∠DMG+∠NMB
∴∠ADM=∠NMB

（2）∵BN平分∠CBE
∴∠CBN=∠NBE=45°
∴∠MBN=135°
又∵∠DGM=180°-45°=135°
∴∠MBN=∠DGM
∵四边形ABCD是正方形，点 G、M分别为AD、AB的中点，
∴DM=MB
由（1）得∴∠ADM=∠NMB
∴△DGM≌△MBN（ASA）

（3）∵RT△DAM中，AM=

1

2

a，AD=a
∴DM=

( 1 2 a)2+a2

=

5

2

a
∵△DGM≌△MBN
∴MN=DM=

5

2

a
∴RT△DMNR的面积=

5

2

a×

5

2

a÷2=

5

8

a

点评：考查了正方形的性质和全等三角形的知识，主要利用正方形的性质，全等三角形的性质与判定来解题．