【题目】如图,△ABC内接于⊙O,且∠B=60°,过C作⊙O的切线l,与直径AD的延长线交于点E,AF⊥l,垂足为F.
(1)求证:AC平分∠FAD;
(2)已知AF=3 ,求阴影部分面积.
【答案】
(1)证明:
连接OC,
∵EF切⊙O于点C,
∴OC⊥EF,
∵AF⊥EF,
∴OC∥AF,
∴∠FAC=∠ACO,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠CAO,
∴∠FAC=∠CAO,
∴AC平分∠FAD
(2)解:连接CD,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°,
∵∠ADC=∠B=60°,
∴∠CAD=30°=∠FAC,
∴∠E=30°,
∵AF=3 ,
∴FC=AF×tan30°=3,
∴AC=2FC=6,
∴CA=CE=6,
∵∠OCE=90°,
∴OC=CE×tan30°=2 ,
∴S阴影=S△OCE﹣S扇形COD= ﹣ =6 ﹣2π
【解析】已知圆的切线,辅助线的添加方法是连半径,(1)连接OC得OC⊥EF,先证明OC∥AF,再证明得∠FAC=∠CAO,即可得出AC平分∠FAD
(2)观察图形,可知S阴影=S△OCE﹣S扇形COD。先在Rt△ACF中,求出AC的长,再证明AC=CE,易得∠E=30°,就可以求出△OCE、扇形OCD的面积,然后去很粗阴影部分的面积。
【考点精析】关于本题考查的切线的性质定理和扇形面积计算公式,需要了解切线的性质:1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径;在圆上,由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形;扇形面积S=π(R2-r2)才能得出正确答案.
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【题目】为了倡导“节约用水,从我做起”,市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况作一次调查,市政府调查小组随机抽查了其中100户家庭一年的月平均用水量(单位:吨).并将调查结果绘制成了如图所示的条形统计图,则这组数据的众数和中位数分别是( )
A.40,20
B.11,11
C.11,12
D.11,11.5
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【题目】若三角形的一边和该边上的高相等的三角形称为“和谐三角形”,如图,已知抛物线y=ax2经过A(﹣1,1),P是y轴正半轴上的动点,射线AP与抛物线交于另一点B,当△AOP是“和谐三角形”时,点B的坐标为 .
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【题目】已知长方形纸片ABCD,点E在边AB上,点F、G在边CD上,连接EF、EG.将∠BEG对折,点B落在直线EG上的点B′处,得折痕EM;将∠AEF对折,点A落在直线EF上的点A′处,得折痕EN.
(1)如图1,若点F与点G重合,求∠MEN的度数;
(2)如图2,若点G在点F的右侧,且∠FEG=30°,求∠MEN的度数;
(3)若∠MEN=α,请直接用含α的式子表示∠FEG的大小.
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【题目】一般地,个相同的因数相乘,记为, 如,此时,3叫做以2为底8的对数,记为 (即) .一般地,若且, 则叫做以为底的对数, 记为 (即) .如, 则4叫做以3为底81的对数, 记为 (即) .
(1)计算下列各对数的值: ; ; .
(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式,之间又满足怎样的关系式;
(3)由(2)的结果,你能归纳出一个一般性的结论吗?
(4) 根据幂的运算法则:以及对数的含义说明上述结论.
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【题目】如图,在△ABC中,∠A=α.∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1;∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2,得∠A2;…;∠A2019BC与∠A2019CD的平分线相交于点A2020,得∠A2020,则∠A2020=_____.
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【题目】如图,在平行四边ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF、CF,则下列结论中一定成立的是 (把所有正确结论的序号都填在横线上)
(1)∠DCF=∠BCD,(2)EF=CF;(3)SΔBEC=2SΔCEF;(4)∠DFE=3∠AEF
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