Question

16．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，两对角线交于M，若AD=BD，AC=AB，∠ADB=90°，试说明：
（1）∠CAB=30°；
（2）BM=BC．

Answer 1

分析 （1）根据梯形的性质，过点D、C作边AB的垂线，在△ADB中和△ABC中，利用题中的已知条件和直角三角形的性质来证明∠CAB=30°；
（2）利用（1）的结论，在△ABC和△CMB中找∠ACB=∠BMC，等角对等边来证明BM=BC．

解答 证明：（1）过D作DF⊥AB交AB于点F，过C作CG⊥AB交AB于点G，则DF∥CG，
∵DC∥AB，
∴DF=CG；
在△ADB中，BD=AD，∠ADB=90°，
∴DF是边AB的中垂线，
∴DF=$\frac{1}{2}$AB，
∴CG=$\frac{1}{2}$AB；
在△ABC中，∵AC=AB，
∴CG=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠CAB=30°；

（2）∵在△ABC中，∠CAB=30°，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$×（180-30）=75°；
∵在△ADB中，BD=AD，∠ADB=90°，
∴∠DAB=45°，∠DBA=∠DAB=45°，
∵∠CAB=30°，
∴∠CMB=45°+30°=75°，
∴∠ACB=∠BMC，
∴BM=BC．

点评 本题考查的是梯形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线之间的距离处处相等的性质，三角形内角和定理以及外角的性质，
综合性较强，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．