Question

【题目】已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．

（1）如图1，求证：EAEC=EBED
（2）如图2，若 ， AD是⊙O的直径，求证：ADAC=2BDBC
（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，

∴△AED∽△BEC，

∴=，

∴EAEC=EBED

（2）

证明：如图2，

连接CD，OB交AC于点F

∵B是弧AC的中点，

∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．

又∵AD为⊙O直径，

∴∠ABC=90°，又∠CFB=90°．

∴△CBF∽△ABD．

∴，故CFAD=BDBC．

∴ACAD=2BDBC

（3）

解：如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF，

∴AF为⊙O的直径，

∴∠ADF=90°，

过O作OH⊥AD于H，

∴AH=DH，OH∥DF，

∵AO=OF，

∴DF=2OH=4，

∵AC⊥BD，

∴∠AEB=∠ADF=90°，

∵∠ABD=∠F，

∴△ABE∽△ADF，

∴∠1=∠2，

∴

∴BC=DF=4．

【解析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得到结论；
（2）如图2，连接CD，OB交AC于点F由B是弧AC的中点得到∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．证得△CBF∽△ABD．即可得到结论；
（3）如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF得到AF为⊙O的直径于是得到∠ADF=90°，过O作OH⊥AD于H，根据三角形的中位线定理得到DF=2OH=4，通过△ABE∽△ADF，得到1=∠2，于是结论可得．