Question

15．若$\left\{\begin{array}{l}{x=cy+bz}\\{y=az+cx}\\{z=bx+ay}\end{array}\right.$（其中a²，b²，c²均不为1），求证：$\frac{{x}^{2}}{1-{a}^{2}}$=$\frac{{y}^{2}}{1-{b}^{2}}$=$\frac{{z}^{2}}{1-{c}^{2}}$．

Answer 1

分析 给方程组中方程标上序号，将②分别代入①③中，整理后可得出x=$\frac{ax+b}{1-{c}^{2}}$z、x=$\frac{1-{a}^{2}}{ac+b}$z，将其相乘即可得出$\frac{{x}^{2}}{1-{a}^{2}}=\frac{{z}^{2}}{1-{c}^{2}}$，同理将③代入①②中，整理相乘后即可得出$\frac{{x}^{2}}{1-{a}^{2}}=\frac{{y}^{2}}{1-{b}^{2}}$，根据分式的性质即可得出$\frac{{x}^{2}}{1-{a}^{2}}=\frac{{y}^{2}}{1-{b}^{2}}=\frac{{z}^{2}}{1-{c}^{2}}$．

解答 证明：$\left\{\begin{array}{l}{x=cy+bz①}\\{y=az+cx②}\\{z=bx+ay③}\end{array}\right.$．
将②代入①中整理得：（1-c²）x=（ac+b）z，
∵a²，b²，c²均不为1，
∴x=$\frac{ax+b}{1-{c}^{2}}$z④；
将②代入③中整理得：（1-a²）z=（ac+b）x，
∵a²，b²，c²均不为1
∴x=$\frac{1-{a}^{2}}{ac+b}$z⑤．
④×⑤得：x²=$\frac{ax+b}{1-{c}^{2}}$•$\frac{1-{a}^{2}}{ac+b}$z²，
∴$\frac{{x}^{2}}{1-{a}^{2}}=\frac{{z}^{2}}{1-{c}^{2}}$．
同理将③分别代入①②可得出$\frac{{x}^{2}}{1-{a}^{2}}=\frac{{y}^{2}}{1-{b}^{2}}$．
由此可得出$\frac{{x}^{2}}{1-{a}^{2}}=\frac{{y}^{2}}{1-{b}^{2}}=\frac{{z}^{2}}{1-{c}^{2}}$．
证毕．

点评 本题考查了分式的等式证明，解题的关键是利用分式的性质找出$\frac{{x}^{2}}{1-{a}^{2}}=\frac{{y}^{2}}{1-{b}^{2}}=\frac{{z}^{2}}{1-{c}^{2}}$．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握分式的运算是关键．