Question

5．已知关于x的方程x²+（m-5）x+m-2=0有实根，求实数m的取值范围，使方程的两根分别有以下情况：
（1）两根都小于-2；
（2）一根大于2，另一根小于2；
（3）一根在区间（-2，0）内，另一根在区间（2，4）内．

Answer 1

分析 由方程有实数根结合根的判别式即可得出m的取值范围，令y=x²+（m-5）x+m-2．
（1）代入x=-2求出y的值，根据方程两根都小于-2即可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围；
（2）代入x=2求出y的值，根据方程一根大于2、另一根小于2结合二次函数的图象即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围；
（3）分别代入x=-2、0、2、4分别求出y值，根据方程一根在区间（-2，0）内、另一根在区间（2，4）内结合二次函数的图象即可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围．

解答 解：∵关于x的方程x²+（m-5）x+m-2=0有实根，
∴△=（m-5）²-4（m-2）=m²-14m+33≥0，
解得：m≤3或m≥11．
令y=x²+（m-5）x+m-2．
（1）当x=-2时，y=12-m，
∵方程x²+（m-5）x+m-2=0的两根都小于-2（图1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{12-m＞0}\\{-\frac{m-5}{2}＜-2}\end{array}\right.$，解得：9＜m＜12．
∵m≤3或m≥11，
∴当方程的两根都小于-2时，m的取值范围为11≤m＜12．
（2）当x=2时，y=3m-8，
∵方程x²+（m-5）x+m-2=0一根大于2、另一根小于2，且1＞0（图2），
∴m-8＜0，
解得：m＜$\frac{8}{3}$．
∴当方程一根大于2、另一根小于2时，m的取值范围为m＜$\frac{8}{3}$．
（3）当x=-2时，y=12-m；当x=2时，y=3m-8；当x=0时，y=m-2；当x=4时，y=5m-6．
∵方程x²+（m-5）x+m-2=0一根在区间（-2，0）内，另一根在区间（2，4）内，1＞0（图3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{12-m＞0}\\{m-2＜0}\\{3m-8＜0}\\{5m-6＞0}\end{array}\right.$，解得：$\frac{6}{5}$＜m＜2．
∴当方程一根在区间（-2，0）内、另一根在区间（2，4）内时，m的取值范围为$\frac{6}{5}$＜m＜2．

点评 本题考查了一元二次方程根的分布、二次函数图象以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）根据一元二次方程根的分布找出关于m的一元一次不等式组；（2）根据一元二次方程根的分布找出关于m的一元一次不等式；（3）根据一元二次方程根的分布找出关于m的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时根据一元二次方程根的分布找出关于m的不等式（或不等式组）是关键．