Question

如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA=DC，链接AC，AD，延长AD交BM地点E．

（1）求证：△ACD是等边三角形．

（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．

Answer 1

【考点】切线的性质．

【分析】（1）由AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，得到AB⊥BE，由于CD∥BE，得到CD⊥AB，根据垂径定理得到=，于是得到AD=AC，然后根据已知DA=DC，得出AD=AC=CD，即可证得；

（2）连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性质得到BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为：r则ON=r，AN=DN=r，由于得到EN=2+r，BE=AE=，在R_t△DEF与R_t△BEO中，由勾股定理列方程即可得到结论．

【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，

∴AB⊥BE，

∵CD∥BE，

∴AB⊥CD，

∴=，

∴AD=AC，

∵DA=DC，

∴AD=AC=CD，

∴△ACD是等边三角形；

（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，

∴∠DAC=60°

∵AD=AC，CD⊥AB，

∴∠DAB=30°，

∴BE=AE，ON=AO，

设⊙O的半径为：r，

∴ON=r，AN=DN=r，

∴EN=2+r，BE=AE=，

在R_t△NEO与R_t△BEO中，

OE²=ON²+NE²=OB²+BE²，

即（）²+（2+）²=r²+（）²，

∴r=2，

∴OE²=（）²+25=28，

∴OE=2．

【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，过O作ON⊥AD于N，构造直角三角形是解题的关键．