Question

【题目】如图，直线y=x﹣1与反比例函数y=的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，已知点A的坐标为（﹣1，m）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P（n，﹣1）是反比例函数图象上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，延长EP交直线AB于点F，求△CEF的面积．

（3）在x轴上是否存在点Q，使得△QBC是等腰三角形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）反比例函数的表达式为：y=．（2）（3）在x轴上存在点Q，使得△QBC是等腰三角形，Q点坐标为（1+，0）、（1﹣，0）、（2，0）或（3，0）．

【解析】

试题分析：（1）将点A的坐标代入直线AB的解析式中即可求出m的值，根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出反比例函数解析式；

（2）由直线AB的解析式可求出点C的坐标，将点P的坐标代入反比例函数解析式中可求出n值，从而可得出点E、F的坐标，由此可得出线段EF、CE的长度，再根据三角形的面积公式即可得出结论；

（3）假设存在，设点Q的坐标为（a，0）．联立直线AB与反比例函数解析式可求出点B的坐标，由此即可得出线段BC、BQ、CQ的长，根据等腰三角形的性质分BC=BQ、BC=CQ以及BQ=CQ三种情况考虑，由此可得出关于a的方程，解方程即可求出点Q的坐标，此题得解．

解：（1）把A（﹣1，m）代入y=x﹣1，

∴m=﹣2，

∴A（﹣1，﹣2）．

∵点A在反比例函数图象上，

∴k=﹣1×（﹣2）=2，

∴反比例函数的表达式为：y=．

（2）令y=x﹣1中y=0，则0=x﹣1，解得：x=1，

∴C（1，0）．

把P（n，﹣1）代入y=中，得：﹣1=，

解得：n=﹣2，

∴P（﹣2，﹣1）．

∵PE⊥x轴，

∴E（﹣2，0）．

令y=x﹣1中x=﹣2，则y=﹣2﹣1=﹣3，

∴F（﹣2，﹣3）．

∴CE=3，EF=3，

∴S△CEF=CEEF=．

（3）假设存在，设点Q的坐标为（a，0）．

联立直线AB和反比例函数解析式得：，

解得：或，

∴B（2，1）．

∴BC==，CQ=|a﹣1|，BQ=．

△QBC是等腰三角形分三种情况：

①当BC=CQ时，有=|a﹣1|，

解得：a1=1+，a2=1﹣，

此时点Q的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）；

②当CQ=BQ时，有|a﹣1|=，

解得：a3=2，

此时点Q的坐标为（2，0）；

③当BC=BQ时，有=，

解得：a4=3，a5=1，

此时点Q的坐标为（3，0）或（1，0）（舍去）．

综上可知：在x轴上存在点Q，使得△QBC是等腰三角形，Q点坐标为（1+，0）、（1﹣，0）、（2，0）或（3，0）．