Question

如图，点D是Rt△ABC斜边AB上一点，点E是直线AC左侧一点，且EC⊥CD，∠EAC=∠B．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）如果点D是斜边AB的中点，且tan∠BAC=

3

2

，试求

S△CDE

S△CBA

的值． （S_△CDE表示△CDE的面积，S_△CBA表示△CBA的面积）

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）先由∠ECD=∠ACB=90°，得出∠ECA=∠BCD，又∠EAC=∠B，根据两角对应相等的两三角形相似得出△ACE∽△BCD，再由相似三角形的对应边成比例得出CE：CD=AC：BC，即CD：BC=CE：AC，又∠ECD=∠ACB，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似得出△CDE∽△CBA；
（2）先由tan∠BAC=

3

2

，根据正切函数的定义设BC=3k，则AC=2k，由勾股定理求出AB=

13

k，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD=

13

2

k，然后由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解．

解答：（1）证明：∵EC⊥CD，
∴∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，
即∠ECA=∠BCD，
又∵∠EAC=∠B，
∴△ACE∽△BCD，
∴CE：CD=AC：BC，
∴CD：BC=CE：AC．
在△CDE与△CBA中，

∠ECD=∠ACB=90° CD：BC=CE：AC

，
∴△CDE∽△CBA；

（2）解：在直角△ABC中，∵∠ACB=90°，tan∠BAC=

BC

AC

=

3

2

，
∴可设BC=3k，则AC=2k，
∴AB=

BC2+AC2

=

13

k．
∵点D是斜边AB的中点，
∴CD=

1

2

AB=

13

2

k．
∵△CDE∽△CBA，
∴

S△CDE

S△CBA

=（

CD

CB

）²=（

13 2 k

3k

）²=

13

36

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角函数的定义，有一定难度．（1）中证明出△ACE∽△BCD，根据相似三角形的对应边成比例得出CD：BC=CE：AC是解题的关键．