Question

12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是⊙O内的点，且∠E=60°，∠DCE=60°，若BC=6，则OE的长度是3-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 延长EO交CD于F，作OG⊥OE交CE于G，取EG的中点H，连接OH、OD、OC，由直角三角形斜边上的中线性质得出OH=$\frac{1}{2}$EG=EH=GH，证明△OEH和△CEF是等边三角形，得出∠OHE=60°，OE=OH，CF=CE，∠CFE=∠ECF=60°，由正方形的性质得出CD=BC=6，OC=OD，∠ODC=∠OCD=45°，由ASA证明△COH≌△ODF，得出OH=DF，因此OE=DF，证出CG=OG，设OE=EH=OH=DF=GH=x，则EG=2x，CG=OG=$\sqrt{3}$x，得出CF=CE=2x+$\sqrt{3}$x，由CD的长得出方程，解方程即可．

解答 解：延长EO交CD于F，作OG⊥OE交CE于G，取EG的中点H，连接OH、OD、OC，如图所示：
则OH=$\frac{1}{2}$EG=EH=GH，
∵∠E=60°，∠DCE=60°，
∴△OEH是等边三角形，△CEF是等边三角形，
∴∠OHE=60°，OE=OH，CF=CE，∠CFE=∠ECF=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC=6，OC=OD，∠ODC=∠OCD=45°，
∴∠OCH=60°-45°=15°，
∵∠CFE=∠ODC+∠DOF，
∴∠DOF=15°=∠OCH，
∴∠COH=60°-15°=45°=∠ODF，
在△COH和△ODF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCH=∠DOF}&{\;}\\{OC=OD}&{\;}\\{∠COH=∠ODF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△COH≌△ODF（ASA），
∴OH=DF，
∴OE=DF，
∵OG⊥OE，∠E=60°，
∴∠OGE=30°，
∵∠OGE=∠OCH+∠COG，
∴∠COG=30°-15°=15°=∠OCH，
∴CG=OG，
设OE=EH=OH=DF=GH=x，则EG=2x，CG=OG=$\sqrt{3}$x，
∴CF=CE=2x+$\sqrt{3}$x，
∴CD=3x+$\sqrt{3}$x=6，
解得：x=3-$\sqrt{3}$，
即OE的长度是3-$\sqrt{3}$．
故答案为：3-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．