Question

8．阅读材料，解答下列问题：
例：当a＞0时，如a=5，则|a|=|5|=5，故此时a的绝对值是它本身；当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是0；当a＜0时，如a=-5，则|a|=|-5|=-（-5），故此时a的绝对值是它的相反数．综上所述，一个数的绝对值要分三种情况，即：|a|=$\left\{\begin{array}{l}{a（a＞0）}\\{0（a=0）}\\{-a（a＜0）}\end{array}\right.$，这种分析方法渗透了数学中的分类讨论思想．
（1）请仿照例中的分类讨论，分析$\sqrt{{a}^{2}}$的各种化简后的情况；
（2）猜想$\sqrt{{a}^{2}}$与|a|的大小关系；
（3）当1＜x＜2时，试化简|x+1|+$\sqrt{（x-2）^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）分a＞0，a=0及a＜0三种情况进行讨论即可；
（2）根据（1）的结果可得出结论；
（3）先判断出x+1，x-2的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．

解答 解：（1）当a＞0时，如a=5，则$\sqrt{{a}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}}$=5，即$\sqrt{{a}^{2}}$=a；
当a=0 时，$\sqrt{{a}^{2}}$=$\sqrt{0}$=0，即$\sqrt{{a}^{2}}$=0；                     
当a＜0时，如a=-5，则$\sqrt{{a}^{2}}$=$\sqrt{（-5）^{2}}$=5，即$\sqrt{{a}^{2}}$=-a．   
综合起来：$\sqrt{{a}^{2}}$=$\left\{\begin{array}{l}{a（a＞0）}\\{0（a=0）}\\{-a（a＜0）}\end{array}\right.$；
                                
（2）由（1）可知$\sqrt{{a}^{2}}$=|a|；

（3）∵1＜x＜2，
∴x+1＞0，x-2＜0，
∴|x+1|+$\sqrt{（x-2）^{2}}$
=|x+1|+|x-2|
=x+1-（x-2）
=3．

点评 本题考查的是二次根式的性质与化简，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．