Question

4．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（　　）

• A． （0，$\frac{4}{3}$）
• B． （0，$\frac{5}{3}$）
• C． （0，2）
• D． （0，$\frac{10}{3}$）

Answer 1

分析 作A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于E，则此时，△ADE的周长最小，根据A的坐标为（-4，5），得到A′（4，5），B（-4，0），D（-2，0），求出直线DA′的解析式为y=$\frac{5}{6}$x+$\frac{5}{3}$，即可得到结论．

解答 解：作A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于E，
则此时，△ADE的周长最小，
∵四边形ABOC是矩形，
∴AC∥OB，AC=OB，
∵A的坐标为（-4，5），
∴A′（4，5），B（-4，0），
∵D是OB的中点，
∴D（-2，0），
设直线DA′的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5=4k+b}\\{0=-2k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{6}}\\{b=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线DA′的解析式为y=$\frac{5}{6}$x+$\frac{5}{3}$，
当x=0时，y=$\frac{5}{3}$，
∴E（0，$\frac{5}{3}$），
故选B．

点评 此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．