Question

16．已知，如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
（1）求证：DE=DF．
（2）连接BC，求证：线段AD垂直平分线段BC．

Answer 1

分析 （1）连接AD，易证△ACD≌△ABD，根据全等三角形对应角相等的性质可得∠EAD=∠FAD，根据角平分线的性质，即可解答；
（2）由△ACD≌△ABD（已证），得到DC=DB，所以点D在线段BC的垂直平分线上．又AB=AC，所以点A在线段BC的垂直平分线上，即可解答．

解答 解：（1）如图，连接AD．
在△ACD和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{CD=BD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△ABD（SSS）．
∴∠FAD=∠EAD，
即AD平分∠EAF．
又∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴DE=DF．
（2）∵△ACD≌△ABD（已证）．
∴DC=DB，
∴点D在线段BC的垂直平分线上．
又∵AB=AC
∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∵两点确定一条直线，
∴AD垂直平分BC．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质、垂直平分线的性质，解决本题的关键是证明△ACD≌△ABD．