Question

如图，设M是△ABC的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，则△ABC的面积为________．

Answer 1

18
分析：先作辅助线，延长BM交AC于点D，再延长BD至E，使DE=DM，据已知条件易证得△AMD≌△CDE，据各边的关系可证得△CME为直角三角形，由△ABC的面积=3△CME的面积即可得解．
解答：解：延长BM交AC于点D，再延长BD至E，使DE=DM，连接CE，
∵M是△ABC的重心，
∴AD=CD，MD=BM，
∵∠ADM=∠CDE（对顶角相等），DE=DM，
∴△AMD≌△CDE（SAS），
∴AM=EC=3，
∵DE=DM，MD=BM，
∴BM=EM=4，
在△CME中，CM=5，ME=4，EC=3，根据勾股定理可得△CME为直角三角形，
S_△CME=×3×4=6，
由以上可证得S_△AMC=S_△CME
∵M是△ABC的重心，
∴S_△ABC=3S_△AMC=18．
故答案填：18．
点评：本题考查了全等三角判定和性质、三角形重心的性质、勾股定理的应用等知识点，是一道难度较大的综合题．