Question

17．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，半径OA=3，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，证得OD∥AC，证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；
（2）连接BE，AD，AB是直径，∠AEB=∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，BD=DC，通过解直角三角形求得AD，根据勾股定理得出BD，进而求得BC，解直角三角形BCE求得BE，然后根据勾股定理即可求得AE．

解答 （1）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：连接BE，AD，
∵AB是直径，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，BD=DC，
∵sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sin∠ABC=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵AB=2OA=6，
∴AD=2$\sqrt{3}$，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴BC=2BD=4$\sqrt{6}$，
在RT△BEC中，∵sinC=$\frac{BE}{BC}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×4$\sqrt{6}$=4$\sqrt{2}$，
在RT△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（4\sqrt{2}）^{2}}$=2．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理的应用以及直角三角函数等，是一道综合题，难度中等．