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【题目】如图,直线AB和抛物线的交点是A(0,-3)B(59),已知抛物线的顶点D的横坐标是2.

(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;

(2)轴上是否存在一点C,与AB组成等腰三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;

(3)在直线AB的下方抛物线上找一点P,连接PAPB使得△PAB的面积最大,并求出这个最大值.

【答案】1,顶点D2);(2C0)或(0)或(0);(3

【解析】

(1)抛物线的顶点D的横坐标是2,则x2,抛物线过A(0,﹣3),则:函数的表达式为:y=ax2+bx﹣3,把B点坐标代入函数表达式,即可求解;

(2)分AB=ACAB=BCAC=BC,三种情况求解即可;

(3)由SPABPHxB,即可求解.

(1)抛物线的顶点D的横坐标是2,则x2,抛物线过A(0,﹣3),则:函数的表达式为:y=ax2+bx﹣3,把B点坐标代入上式得:9=25a+5b﹣3,联立解得:abc=﹣3,∴抛物线的解析式为:yx2x﹣3.

x=2时,y,即顶点D的坐标为(2,);

(2)A(0,﹣3),B(5,9),则AB=13,设点C坐标(m,0),分三种情况讨论:

AB=AC时,则:(m2+(﹣3)2=132,解得:m=±4,即点C坐标为:(4,0)或(﹣4,0);

AB=BC时,则:(5﹣m2+92=132,解得:m=5,即:点C坐标为(5,0)或(5﹣2,0);

AC=BC时,则:5﹣m2+92=(m2+(﹣3)2,解得:m=,则点C坐标为(,0).

综上所述:存在,点C的坐标为:(±4,0)或(5,0)或(,0);

(3)过点Py轴的平行线交AB于点H.设直线AB的表达式为y=kx﹣3,把点B坐标代入上式,9=5k﹣3,则k,故函数的表达式为:yx﹣3,设点P坐标为(mm2m﹣3),则点H坐标为(mm﹣3),SPABPHxBm2+12m)=-6m2+30m=,当m=时,SPAB取得最大值为:

答:△PAB的面积最大值为

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思路二 如图2,在顶角为30°的等腰三角形ABC中,ABAC,若过点CCDAB于点D,则∠BCD=15°……

思路三 利用科普书上的有关公式:tanαβ)=

tanαβ)=;…

请解决下列问题(上述思路仅供参考).

1)选择你喜欢的一种思路,完成解答过程,求出tan 15°的值(保留根号);

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