【题目】如图,直线AB和抛物线的交点是A(0,-3),B(5,9),已知抛物线的顶点D的横坐标是2.
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)在轴上是否存在一点C,与A,B组成等腰三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在直线AB的下方抛物线上找一点P,连接PA,PB使得△PAB的面积最大,并求出这个最大值.
【答案】(1),顶点D(2,);(2)C(,0)或(,0)或(,0);(3)
【解析】
(1)抛物线的顶点D的横坐标是2,则x2,抛物线过A(0,﹣3),则:函数的表达式为:y=ax2+bx﹣3,把B点坐标代入函数表达式,即可求解;
(2)分AB=AC、AB=BC、AC=BC,三种情况求解即可;
(3)由S△PABPHxB,即可求解.
(1)抛物线的顶点D的横坐标是2,则x2①,抛物线过A(0,﹣3),则:函数的表达式为:y=ax2+bx﹣3,把B点坐标代入上式得:9=25a+5b﹣3②,联立①、②解得:a,b,c=﹣3,∴抛物线的解析式为:yx2x﹣3.
当x=2时,y,即顶点D的坐标为(2,);
(2)A(0,﹣3),B(5,9),则AB=13,设点C坐标(m,0),分三种情况讨论:
①当AB=AC时,则:(m)2+(﹣3)2=132,解得:m=±4,即点C坐标为:(4,0)或(﹣4,0);
②当AB=BC时,则:(5﹣m)2+92=132,解得:m=5,即:点C坐标为(5,0)或(5﹣2,0);
③当AC=BC时,则:5﹣m)2+92=(m)2+(﹣3)2,解得:m=,则点C坐标为(,0).
综上所述:存在,点C的坐标为:(±4,0)或(5,0)或(,0);
(3)过点P作y轴的平行线交AB于点H.设直线AB的表达式为y=kx﹣3,把点B坐标代入上式,9=5k﹣3,则k,故函数的表达式为:yx﹣3,设点P坐标为(m,m2m﹣3),则点H坐标为(m,m﹣3),S△PABPHxB(m2+12m)=-6m2+30m=,当m=时,S△PAB取得最大值为:.
答:△PAB的面积最大值为.
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【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D,切线DE⊥AC,垂足为点E.
求证:(1)△ABC是等边三角形;
(2).
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【题目】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知正比例函数 y1=﹣2x 的图象与反比例函数 y2=的图象交于 A(﹣1,a),B 两点.
(1)求出反比例函数的解析式及点 B 的坐标;
(2)观察图象,请直接写出满足 y≤2 的取值范围;
(3)点 P 是第四象限内反比例函数的图象上一点,若△POB 的面积为 1,请直接写出点 P的横坐标.
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【题目】如图,点A,B,C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5(其中﹣<a<0)上,AB∥x轴,∠ABC=135°,且AB=4.
(1)填空:抛物线的顶点坐标为 (用含m的代数式表示);
(2)求△ABC的面积(用含a的代数式表示);
(3)若△ABC的面积为2,当2m﹣5≤x≤2m﹣2时,y的最大值为2,求m的值.
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【题目】已知点A、B分别在反比例函数(x>0),(x>0)的图象上,且∠AOB=90°,则∠B=30°,则k的取值为( )
A. B. C. ﹣2 D. ﹣3
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【题目】如图,边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合,AF∥x轴,将该正六边形绕原点O顺时针旋转n次,每次旋转60°,当n=63时,顶点F的坐标为_____.
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【题目】某校数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值,经过自主思考、合作交流讨论,得到以下思路:
思路一 如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB至点D,使BD=BA,连接AD.……
思路二 如图2,在顶角为30°的等腰三角形ABC中,AB=AC,若过点C作CD⊥AB于点D,则∠BCD=15°……
思路三 利用科普书上的有关公式:tan(α+β)=;
tan(α―β)=;…
请解决下列问题(上述思路仅供参考).
(1)选择你喜欢的一种思路,完成解答过程,求出tan 15°的值(保留根号);
(2)试利用同样的方法,计算tan22.5°的值(保留根号).
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【题目】如图,正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在 BC 和 AB 上,BE=3,AF=2,BF=4,将△ BEF 绕点 E 顺时针旋转,得到△GEH,当点 H 落在 CD 边上时,F,H 两点之间的距离为_____.
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【题目】某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系y=mx2+20x+n,其图象如图所示.
(1)m=_____,n=_____.
(2)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元?
(3)该种商品每天的销售利润不低于16元时,直接写出x的取值范围.
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