Question

已知抛物线y=-x²+bx+c的对称轴为直线x=1，最大值为3，此抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1．求点A的坐标及线段OC的长；
（3）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．
①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一 个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式；
②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上（D不与Q重合）．另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c的对称轴为直线x=1，
∴2b=1，
∴b=，
又∵抛物线最大值为3，
∴3=-，
∴c=，
∴抛物线解析式为：；

（2）把x=0代入抛物线得：y=，
∴点A（0，），
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴OC=1；

（3）①如图：∵此抛物线与y轴交于点A，顶点为B
∴B（1，3）
分别过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于点N，
∵PQ∥BC，∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°，
∴DMQN是矩形．
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴DC=DE，∠CDM=∠EDN
∴△CDM≌△EDN
∴DM=DN，
∴DMQN是正方形，
∴∠BQC=45°
∴CQ=CB=3
∴Q（4，0）
设BQ的解析式为：y=kx+b，
把B（1，3），Q（4，0）代入解析式得：k=-1，b=4．
所以直线BQ的解析式为：y=-x+4；
②当点P在对称轴右侧，如图：
过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于N，
∵∠CDE=90°，
∴∠CDM=∠EDN，
∴△CDM∽△EDN，
当∠DCE=30°，==，
又DN=MQ，
∴=，
∴=，BC=3，CQ=，
∴Q（1+，0），
∴P₁（1+，），
当∠DCE=60°，点P₂（1+3，-）．
当点P在对称轴的左边时，由对称性知：
P₃（1-，），P₄（1-3，-）
综上所述：P₁（1+，），P₂（1+3，-），P₃（1-，），P₄（1-3，-）．
分析：（1）由抛物线的对称轴方程可求出b的值，由抛物线的最小值可求出c的值，进而求出抛物线的解析式；
（2）把x=0代入抛物线求出y的值确定点A的坐标，求出抛物线的对称轴得到OC的长．
（3）①由△CDE是等腰直角三角形，分别过点D作x轴和PQ的垂线，通过三角形全等得到∠DQO=45°，求出点Q的坐标，然后用待定系数法求出BQ的解析式．
②分点P在对称轴的左右两边讨论，根据相似三角形先求出点Q的坐标，然后代入抛物线求出点P的坐标．
点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）利用抛物线与y轴的交点及对称轴求出点A的坐标和OC的长．（2）①利用三角形全等确定点Q的坐标，求出BQ的解析式．②根据三角形相似求出点Q的坐标，然后确定点P的坐标．