Question

求代数式

9x2+4

+

9x2-12xy+4y2+1

+＜“m“：math dsi：zoomscale=150 dsi：_mathzoomed=1＞4y2-16y+20

4y2-16y+20

的最小值．

Answer 1

考点：无理函数的最值

专题：

分析：根据题意转化得出要使

9x2+4

+

9x2-12xy+4y2+1

+

4y2-16y+20

最小，只要求出直线AB，AC，CD的长度之和最小即可，进而得出x，y的值代入求出即可．

解答：解：首先

9x2+4

可以看成是坐标轴上（0，3）与（3x，1）两点的距离，

9x2-12xy+4y2+1

可以化为：

(3x-2y)2+(1-0)2

，
则可看成是（3x，1）与（2y，0）的距离，最后一个可以化为：

(2y-4)2+(0-2)2

，则为：（2y，0）与（4，2）的距离，
如图：要使

9x2+4

+

9x2-12xy+4y2+1

+

4y2-16y+20

的和最小，只要求出直线AB，AC，CD的长度之和最小即可，
根据A，C坐标可知点C在x轴上，点A在y=1上，作D关于x轴的对称点D′，连接BD′，与x轴的交点就是C点与y=1的交点就是A点，
∵D（4，2），B（0，3），
∴D′（4，-2），
可求出直线BD′的解析式为：y=-

5

4

t+3，
当y=0时，t=

12

5

，
C（

12

5

，0），
∵y=1时，t=

8

5

，
∴A（

8

5

，1），
∵C（2y，0），A（3x，1），
∴x=

8

15

，y=

6

5

，
∴

9x2+4

+

9x2-12xy+4y2+1

+

4y2-16y+20

=

9×( 8 15 )2+4

+

9×( 8 15 )2-12× 8 15 × 6 5 +4×( 6 5 )2+1

+

4×( 6 5 )2-16× 6 5 +20

=

2 41

5

+

41

5

+

2 41

5

=

41

∴代数式

9x2+4

+

9x2-12xy+4y2+1

+

4y2-16y+20

的最小值为：

41

．

点评：此题主要考查了无理函数最值求法，根据题意利用数形结合得出x，y的值是解题关键．