Question

在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，-4），BD是△ABO的角平分线，过O作OT⊥BD于T点，求

OT+TB

BD

的值．

Answer 1

考点：勾股定理,坐标与图形性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：先求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，根据角平分线性质求出OD，证相似求出DT、OT，代入求出即可．

解答：解：过A作AE∥OB，交BD延长线于E，
则∠E=∠OBD，
∵BD是△ABO的角平分线，
∴∠OBD=∠ABD，
∴∠ABD=∠E，
∴AB=AE，
∵A（4，0），B（0，-4），
∴OA=OB=4，由勾股定理得：AB=

42+42

=4

2

，
∵OB∥AE，
∴△BOD∽△EAD，
∴

AE

OB

=

AD

OD

，
∴

4 2

4

=

4-0D

OD

，
∴OD=4

2

-4，
在Rt△BOD中，由勾股定理得：BD=

(4 2 -4)2+42

=4

4-2 2

，
∵OT⊥BD，
∴∠DTO=∠DOB=90°，
∵∠ODT=∠ODB，
∴△DTO∽△DOB，
∴

DT

DO

=

OT

OB

=

OD

BD

，
∴

DT

4 2 -4

=

OT

4

=

4 2 -4

4 4-2 2

∴DT=

4( 2 -1)2

4-2 2

，OT=

4 2 -4

4-2 2

，
∴

OT+TB

BD

的值=

4 2 -4 4-2 2 +4 4-2 2 - 4( 2 -1)2 4-2 2

4 4-2 2

=

2 -1

2

．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出OT、TB、BD的长．