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    如图，O是∠ABC的边BA上一点，以O为圆心的圆与角的另一边BC相切于点D，交BO于点E，F是OA上一点，过F作FG⊥AB，交BC于点G，BD=2
    		3
    ，sin∠ABC=
    1
    2
    ，设OF=x，四边形EDGF的面积为y．
    （1）求y与x之间的函数关系式；
    （2）在直角平面坐标系内画出这个函数的大致图象；
    （3）这个函数的图象与经过点（1，
    		3
    3
    ）的正比例函数的图象有无交点？若有交点，精英家教网求出交点坐标；若无交点，试说明理由．
    分析：（1）连接OD，则由切线性质可得OD⊥BC，作EH⊥BD垂足为H，由sin∠ABC=
    1
    2
    ，可知∠ABC=30°，图形中就有三个30°的直角三角形，分别是△BEH、△BOD和△BGF，先解△BOD，由BD=2
    		3
    ，可求OD、OB、BE，再解△BEH，可求EH及△BED的面积，由于OF=x，则BF可表示出来，解Rt△BGF，可表示FG及△BGF的面积，用S四边形EDGF=S△BGF-S△BDE即可；
    （2）画图象时，要注意抛物线对称轴，顶点坐标，与坐标轴的交点及自变量的取值范围；
    （3）由点（1，
    		3
    3
    ）可得正比例函数关系式，与二次函数解析式联立，解方程组即可．
    解答：精英家教网解：（1）连接OD，则OD⊥BC，
    ∴△BOD是直角三角形，由sin∠ABC=
    1
    2
    =
    OD
    OB
    ，设OD=m，则OB=2m，
    在Rt△OBD中，BO2=BD2+OD2；即（2m）2=（2
    		3
    ）2+m2，
    ∴OD=m=2，OB=2m=4，
    ∴BE=OB-OE=OB-OD=4-2=2，BF=OB+OF=4+x．
    作EH⊥BD垂足为H，则∠BHE=∠BDO=90°，
    ∴EH∥OD，
    ∵BE=OE，BH=HD，
    ∴EH=
    1
    2
    OD．
    又∵S△OBD=
    1
    2
    BD•OD=
    1
    2
    ×2
    		3
    ×2=2
    		3
    ，
    ∴S△BED=
    1
    2
    S△OBD=
    		3
    ，
    ∵GF⊥AB，∴∠BDO=∠BFG=90°，
    又∵∠DBO=∠FBG，
    ∴△OBD∽△GBF，
    S△OBD
    S△GBF
    =(
    BD
    BF
    )    2    ，
    即
    2
    		3
    S△GBF
    =(
    2
    		3
    4+x
    )    2
    ∴S△GBF=
    		3
    6
    （4+x）2-
    		3

    即y=
    		3
    6
    （4+x）2-
    		3
    ．

    （2）所求函数的大致图象如图所示．
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    （3）设正比例函数为y=kx
    ∵这个正比例函数的图象经过点（1，
    		3
    6
    ）．
    ∴
    		3
    6
    =k×1，
    ∴k=
    		3
    6

    ∴这个正比例函数是y=
    		3
    6
    x．
    解方程组
    y=
    		3
    6
    x
    y=
    		3
    6
    (4+x)2-
    		3
    ，
    得
    x1=-2
    y1=-
    		3
    3
    ，
    x2=-5
    y2=-
    5
    		3
    6
    ，
    ∴这个正比例函数与（1）中函数的图象有两个交点，
    其坐标分别为（-2，-
    		3
    3
    ）、（-5，-
    5
    6
    		3
    ）．
    点评：本题考查了解直角三角形，三角形面积的表示方法，求二次函数解析式及其图象，二次函数图象与一次函数图象的交点等综合运用问题，在表示不规则四边形面积时，要学会作差法．
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