Question

20．已知x=$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$，求$\sqrt{（x-\frac{1}{x}）^{2}+4}$-$\sqrt{（x+\frac{1}{x}）^{2}-4}$的值．

Answer 1

分析 先利用完全平方公式和二次根式的性质得到原式=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|，再利用分母有理化得到x=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，且$\frac{1}{x}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，然后利用绝对值的意义计算原式的值．

解答 解：原式=$\sqrt{（x+\frac{1}{x}）^{2}}$-$\sqrt{（x-\frac{1}{x}）^{2}}$
=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|，
∵x=$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{x}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
∴原式=|$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$|-|$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$|
=2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．