【题目】（引例）
如图1，点A、B、D在同一条直线上，在直线同侧作两个等腰直角三角形△ABC和△BDE，BA＝BC，BE＝BD，连接AE、CD．则AE与CD的关系是 ．
（模型建立）
如图2，在△ABC和△BDE中，BA＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝α，连接AE、CD相交于点H．求证：①AE＝CD；②∠AHC＝α．
（拓展应用）
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BDC＝90°，BD＝CD，∠BAD＝45°．若AB＝3，AD＝4，求AC2的值．
【答案】（引例）AE＝CD，AE⊥CD（模型建立）证明见解析（拓展应用）41
【解析】
（引例）根据题意可以证明△ABE≌△CBD，进而得出∠AEB＝∠CDB，AE＝CD，据此即可得解；
（模型建立）如图2中，设AE交BC于点O．证明△ABE≌△CBD（SAS），推出∠EAB＝∠DCB，可得结论．
（拓展应用）如图3中，作DE⊥DA，截取DE＝DA，连接AE，BE．则∠ADE＝90°，∠DAE＝45°，证明△EDB≌△ADC（SAS），推出EB＝AC，求出BE2即可解决问题．
解：（引例）结论：AE＝CD，AE⊥CD．
理由：如图1中，延长AE交CD于F．
∵在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（ASA），
∴AE＝CD，∠AEB＝∠CDB，
∵∠AEB+∠EAB＝90°，
∴∠CDB+∠EAB＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴AE⊥CD．
故答案为AE＝CD，AE⊥CD．
（模型建立）如图2中，设AE交BC于点O．
∵∠ABC＝∠EBD，
∴∠ABE＝∠CBD，
∵AB＝CB，EB＝DB，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠EAB＝∠DCB，
∵∠OAB+∠AOB+∠ABO＝180°，∠OCH+∠COH+∠OHC＝180°，∠AOB＝∠COH，
∴∠OHC＝∠OBA，即∠AHC＝α．
（拓展应用）如图3中，作DE⊥DA，截取DE＝DA，连接AE，BE．则∠ADE＝90°，∠DAE＝45°，
∵∠ADE＝∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠EDB，
∵DE＝DA，DB＝DC，
∴△EDB≌△ADC（SAS），
∴EB＝AC，
∵∠BAD＝∠EAD＝45°，
∴∠EAB＝∠EAD+∠BAD＝90°，
在Rt△EAB中，AE2+AB2＝BE2，
在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，
∵AD＝4，AB＝3，
∴AE2＝32，BE2＝41，
∴AC2＝BE2＝41．
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【题目】在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
分 组 | 频数 | 频率 |
第一组（0≤x＜15） | 3 | 0.15 |
第二组（15≤x＜30） | 6 | a |
第三组（30≤x＜45） | 7 | 0.35 |
第四组（45≤x＜60） | b | 0.20 |
（1）频数分布表中a=_____，b=_____，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？
（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】周日琪琪要骑车从家去书店买书，一出家门，遇到了邻居亮亮，亮亮说：“今天有风，而且去时逆风，要吃亏了”，琪琪回答说：“去时逆风，回来时顺风，和无风往返一趟所用时间相同”.（顺风速度
无风时骑车速度
风速，逆风速度无风时骑车速度
风速）
（1）如果家到书店的路程是
，无风时琪琪骑自行车的速度是
，他逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的
倍，求风速是多少？
（2）如果设从家到书店的路程为
千米，无风时骑车速度为
千米/时，风速为
千米/时
，则有风往返一趟的时间为___________，无风往返一趟的时间为_______，请你通过计算说明琪琪和亮亮谁说得对.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，分别以线段AB两端点A，B为圆心，以大于
AB长为半径画弧，两弧交于C，D两点，作直线CD交AB于点M，DE∥AB，BE∥CD．
（1）判断四边形ACBD的形状，并说明理由；
（2）求证：ME=AD．
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【题目】下面是胡老师带领学生，探究SSA是否能判定两个三角形全等的过程，请完成下列填空．
如图：已知
，在
和
中，
________，（公共边），
，（ ）,
，（ ），则和满足两边及一边的对角分别相等，即满足________________，很显然：________，（填“全等于”或“不全等于”）下结论：SSA________（填“能”或“不能”）判定两个三角形全等．
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【题目】如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DBC成立的是 （ ）
A. AB＝CD B. AC＝BD C. ∠A＝∠D D. ∠ABC＝∠DCB
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【题目】甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S（单位：米）与所用时间t（单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD．则下列说法正确的是( )
A. 两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B. 跑步过程中，两人相遇一次
C. 起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远
D. 乙在跑前300米时，速度最慢
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【题目】一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，前2分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足二次函数v=at2，后三分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足反比例函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分，求：
（1）二次函数和反比例函数的关系式．
（2）弹珠在轨道上行驶的最大速度．
【答案】（1）v=
（2＜t≤5） （2）8米/分
【解析】分析：（1）由图象可知前一分钟过点（1，2），后三分钟时过点（2，8），分别利用待定系数法可求得函数解析式；
（2）把t=2代入（1）中二次函数解析式即可．
详解：（1）v=at2的图象经过点（1，2），
∴a=2．
∴二次函数的解析式为：v=2t2，（0≤t≤2）；
设反比例函数的解析式为v=
，
由题意知，图象经过点（2，8），
∴k=16，
∴反比例函数的解析式为v=（2＜t≤5）；
（2）∵二次函数v=2t2，（0≤t≤2）的图象开口向上，对称轴为y轴，
∴弹珠在轨道上行驶的最大速度在2秒末，为8米/分．
点睛：本题考查了反比例函数和二次函数的应用．解题的关键是从图中得到关键性的信息：自变量的取值范围和图象所经过的点的坐标．
【题型】解答题
【结束】
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【题目】阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则BD=CE．
（1）在图1中证明小胖的发现；
借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：
（2）如图2，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，求证：AD+CD=BD；
（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC=∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）．
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